Salut à toi le matheux qui s’ignore. Tu as toujours rêvé de comprendre le taux de variation ? Alors regarde bien notre nouvelle vidéo qui t’explique en détail cette notion importante de première ! Bon courage, et à bientôt, ciao !

Transcription de notre vidéo sur le taux de variation :

Présentation

Salut à toi, le matheux qui s’ignore. Je suis Pierre-Elie du blog les maths et moi, et aujourd’hui, tu vas enfin comprendre le taux de variation.

Si tu es en première, tu as certainement eu un cours qui s’appelait les dérivées, ou tu vas l’avoir si tu ne l’as pas encore eu. Et dans ces dérivées, il y a ce fameux taux de variation. Qu’est-ce que c’est que cette bête ?

Variation d’une courbe entre deux points

En fait, ce qu’il faut savoir, c’est que dans une fonction, on cherche à savoir à chaque point comment elle va évoluer vers les points suivants.

Je vais te faire un graphique. Nous avons un repère orthonormé avec les abscisses et les ordonnées, et une fonction quelconque. Par exemple, celle-ci. Le taux de variation, c’est entre deux points quelconques, savoir comment la courbe va varier entre ces deux points. Comme si elle variait de manière linéaire, comme si c’était une droite.

Imaginons qu’on prenne ce point qui appartient à la courbe et ce point qui appartient à la courbe. On veut savoir entre les deux, quelle va être la variation ? En fait, la variation entre ces deux points, ça va être le coefficient directeur de la droite que je viens de tracer.

Pour trouver le coefficient directeur d’une droite, il faut regarder la différence entre les ordonnées et la différence entre les abscisses.

Je suis parti d’un certain point qui avait une abscisse. Par exemple, ça pourrait être 5 on va la noter x_A. C’est l’abscisse du point A. Et ce point A a aussi une ordonnée, qu’on va noter y_A, qui pourrait être 6 ou 7, n’importe. On prendra des exemples chiffrés tout à l’heure.

Ici, c’est le point B avec, tu l’as compris, une abscisse x_B et une ordonnée y_B.

Taux de variation : définition

Si je veux connaître le taux de variation, ou taux d’accroissement, entre ces deux points, il va falloir regarder de combien j’ai avancé d’unité, et de combien je suis monté ou descendu. Ici : je monte, donc ce sera une variation positive.

Notre variation, qu’on peut noter a ou τ, des fois on la note avec la lettre grecque τ (tau), va être égale à notre point d’arrivée moins notre point de départ. Donc, si on veut savoir est-ce qu’on monte vite ou pas. Imagine un dénivelé en montagne : tu veux savoir si ça grimpe fort ou pas. Eh bien, on va regarder de combien on est monté en premier (ou descendu, dans le cas où c’est une pente qui descend), divisé par combien on a avancé. Parce que plus on monte – admettons qu’on fasse 1 000 m de dénivelé mais sur 10 km en avançant horizontalement : la pente est faible. Par contre, si on fait les mêmes 1 000 m de dénivelé en avançant de 500 m, on aura une pente plus élevée.

Donc, ce qui m’intéresse c’est notre dénivelé : combien je monte, divisé par combien j’avance. Pour savoir de combien je monte, je regarde le point d’arrivée moins le point de départ. Donc y_B – y_A. Divisé par notre avancée sur le plan horizontal, c’est l’axe des abscisses, c’est x. x_B – x_A.

Taux de variation : calcul

Si on prend l’exemple de tout à l’heure. Admettons qu’on prenne x_A = 5, x_B = 8, y_A = 7 et y_B = 8, c’est un exemple. Notre calcul vaudrait (8 – 7) divisé par (8 – 5). La différence des ‘y’ divisé par la différence des ‘x’, ce qui nous ferait 1/3. Ça, c’est un taux de variation.

Taux de variation : vers le nombre dérivé

Maintenant, imaginons que ce taux de variation on ne le note plus point A, point B, mais a et a + h. Notre point A a une abscisse qui ne vaut plus x_A, mais a. Et notre x_B c’est a + h. Pourquoi « + h » ? Parce qu’on prend la même abscisse qu’on avait ici et on lui rajoute un petit « h », un petit quelque chose en plus. Et là-haut ce n’est plus y_A et y_B, mais f(a) : l’image de a. Puisqu’ici on a les abscisses x et ici on a les ordonnées f(x), donc ça sera f(a) et ici ça sera f(a + h).

Si on reprend notre taux de variation avec ces nouvelles notations, ça donnera τ égal, non plus y_B, mais f (a + h) – f (a), qui est l’ordonnée du point A, divisé par a + h – a. C’est-à-dire notre abscisse pour le point d’arrivée, moins notre abscisse pour le point de départ. Et on voit qu’on se retrouve avec a – a : ça peut se simplifier. Il reste h tout court au dénominateur. Et ça, c’est la formule du taux de variation ou taux d’accroissement que vous avez vue en classe.

Le taux de variation : quelle utilisation ?

Tu comprends maintenant que c’est tout simplement une variation de notre courbe entre deux points quelconques. De combien va-t-elle varier ? Est-ce que c’est positif, ce qui voudra dire que c’est une courbe qui est croissante, ou est-ce que c’est négatif ? Si je l’avais prise entre deux points, par exemple ici et ici, j’aurais eu un taux de variation qui aurait été négatif, puisque la pente est décroissante : c’est une droite qui descend.

Ça nous permet donc de savoir si c’est positif ou négatif. Si la valeur est élevée c’est que ça va varier plus vite que si la valeur est faible. C’est à ça que sert le taux de d’accroissement.

Maintenant, ce taux va nous servir à calculer le nombre dérivé, et c’est pour ça que vous trouvez cette formule dans le cours des dérivées. Parce qu’ensuite on va expliquer le nombre dérivé, puis les fonctions dérivées. Et tout ça fera l’objet d’une nouvelle vidéo, la prochaine fois.

Nombre dérivé : on rapproche nos points

J’explique juste le nombre dérivé. Nos deux points A et B, je les ai pris suffisamment loin. Mais si on veut connaître la variation à un point précis. Là, en fait, je ne suis pas vraiment la courbe. Si j’ai mon point A là et mon point B là, ma variation suit la droite entre les deux. Mais la courbe ne suit pas la même forme. Donc, ce n’est pas vraiment la variation de la courbe, c’est la variation entre deux points de la courbe assez distants.

Si on les rapproche infiniment près, on rapproche de plus en plus près les points, notre variation va suivre au plus juste la courbe. Plus on les rapproche et plus ça se rapproche de la vraie courbe. Imagine, si je ne prends plus A ici et B ici, mais A là et B là, par exemple. Notre droite qui passe par A et B, déjà elle se rapproche très très proche de ce qu’est la courbe réellement. Si on les approche encore plus près. Que je mets cette fois le point B ici, juste à côté du point A. Notre droite, en ce point-là, suit totalement la courbe.

Nombre dérivé : définition

Donc, si on prend un taux de variation, avec cette formule, mais avec un « h » le plus petit possible finalement, puisqu’on veut que les deux abscisses soient les plus proches possibles. Donc le « h » le plus proche possible de 0, pour que les deux valeurs soient rapprochées. Rappelez-vous : on avait a et on avait a + h. Le « + h », en fait, c’est l’écart qu’on ajoute par rapport à notre premier point. Donc s’il est proche de 0, ça veut dire que les deux points sont très très proches.

Et donc, si on prend le taux de variation et qu’on fait tendre h vers 0, on aura ce qu’on appelle le nombre dérivé.

Conclusion

Et je vais terminer cette vidéo sur ça : le nombre dérivé, c’est la limite de ce taux-là lorsque h tend vers 0. Quand tu calcules la limite de toute cette formule-là quand h tend vers 0, alors tu as le nombre dérivé.

On prendra des exemples et on fera des exercices dans une autre vidéo. Je te remercie. A bientôt, Ciao.