Salut à toi le matheux qui s’ignore. Aujourd’hui je te propose d’effectuer des opérations sur nos amies les fonctions dérivées. Cet article fais partie de notre série sur les dérivées. Voici les trois premiers dans l’ordre :

Enfin comprendre le taux de variation !

Taux de variation : exemple de calcul.

Comment calculer des dérivées de fonctions de référence ?

Nous avons traité ce sujet en vidéo : je te laisse regarder ça ci-dessous. Cette vidéo est issue de notre chaîne YouTube les maths et moi. Si tu préfères la lecture, la transcription est juste en dessous de la vidéo 😉 . Enjoy !

Transcription de notre vidéo sur les opérations de fonctions dérivées

Présentation

Salut à toi, le matheux qui s’ignore !

Je suis Pierre-Elie, du blog Les Maths et Moi. Aujourd’hui, tu vas enfin apprendre à effectuer des opérations sur les dérivées.

La semaine dernière, nous avons expliqué ce qu’était le nombre dérivé et ce qu’était une fonction dérivée. Nous avons également examiné les dérivées des fonctions de référence. Aujourd’hui, nous allons effectuer des calculs sur ces fonctions.

Opérations sur les fonctions dérivées : somme de deux fonctions

Par exemple, si nous prenons la fonction x², on connait sa dérivée : 2x. Prenons maintenant la fonction f(x) = x² + 3x, comment pouvons-nous dériver lorsque nous ajoutons deux fonctions ensemble ?

Pour cela, nous devons simplement dériver chacune des fonctions et additionner les résultats. Dans notre exemple précédent nous additionnons la dérivée de x² qui vaut 2x, et celle de 3x qui vaut 3 : f'(x) = 2x + 3.

Multiplication d’une fonction par un réel

De même, pour la multiplication par un réel, comme dans le cas de f(x) = 5x², nous multiplions simplement le réel par la dérivée de la fonction. Dans notre exemple, la dérivée de 5x² sera 5 multiplié par la dérivée de x², qui est 2x, donc

Attention, cela n’est valable que pour un réel, c’est-à-dire si la fonction est multipliée par une valeur qui ne dépend pas de x.

Multiplication de deux fonctions

Si nous voulons multiplier une fonction par une autre fonction, nous devons utiliser la règle du produit, où nous multiplions la dérivée de la première fonction par la deuxième fonction, puis la dérivée de la deuxième fonction par la première fonction, et nous additionnons ces deux produits :

Par exemple,

Dans ce cas,

Et donc

Division de deux fonctions

Pour la division, nous utilisons une règle similaire à celle du produit, mais avec une subtilité supplémentaire : il y a un signe ‘-‘ entre les deux facteurs et non un ‘+’.

Où u'(x) est la dérivée de la première fonction, v(x) est la deuxième fonction, v'(x) est la dérivée de la deuxième fonction, u(x) est la première fonction et v(x)² est le carré de la deuxième fonction.

Par exemple, si

alors

On a donc u'(x) = 3 et v'(x) = 3x². La dérivée vaut donc

Nous terminons avec les fonctions de la forme

Il s’agit d’un cas particulier du cas u(x)/v(x) avec u(x) = 1. Donc u'(x) = 0, ce qui simplifie l’expression précédente en

J’espère que ces explications t’ont été utiles ! N’hésite pas à me poser des questions si tu en as. À bientôt, tchao !