Salut à toi le matheux qui s’ignore. Tu as toujours rêvé de comprendre le taux de variation ? Alors, avant de regarder la vidéo du jour, regarde d’abord notre première vidéo qui t’explique cette notion. Aujourd’hui, nous allons analyser un exemple de calcul du taux de variation. Entraîne toi pour devenir un pro !

Si tu ne souhaites pas regarder la vidéo, tu peux lire la transcription juste en-dessous. Petite remarque cependant : comme il s’agit de maths, avec des formules et tout, c’est plus « lisible » en vidéo. Bon visionnage 🙂 .

Transcription de notre vidéo d’exemple de calcul du taux de variation :

Présentation

Salut à toi, le matheux qui s’ignore.

Je suis Pierre-Elie du blog Les maths et moi.

Cette vidéo fait suite à celle de la semaine dernière où nous avons expliqué le taux de variation. Aujourd’hui, nous allons prendre quelques exemples pour mieux comprendre ce concept.

Rappel de la vidéo précédente : calcul du taux de variation et du nombre dérivé

Je vous rappelle la formule que nous avons vue : le taux de variation ou taux d’accroissement, c’est (f(a + h) – f(a)) / h. Ici, ‘f’ représente la fonction que nous étudions, ‘h’ est la petite variation entre notre abscisse étudiée et l’abscisse du deuxième point, pour connaître la variation entre les deux points, et ‘a’ est l’abscisse voulue.

Si on prend la limite de ce taux de variation, nous obtenons le nombre dérivé. Cela se produit lorsque les deux points sont infiniment proches et que ‘h’ tend presque vers zéro. Donc, les deux points sont très, très proches, et la variation trouvée avec la limite correspond à la variation pour le point ‘A’, l’abscisse choisie.

Exemple de calcul du taux de variation : la fonction f(x) = x² au point d’abscisse 1

Prenons des exemples. Nous allons prendre des fonctions de référence connues, par exemple, la fonction x². Calculons son taux de variation entre 1 et 1 + h, par exemple. L’abscisse ‘a’ que nous choisissons ici est 1. On pourrait choisir entre 1 et 3, 1 et 4, prendre différentes valeurs, mais prenons entre 1 et 1 + h. Cela nous permettra ensuite de faire le nombre dérivé en faisant tendre ‘h’ vers 0. Vous allez voir ce que ça donne.

Appliquons notre formule. Nous allons prendre la fonction pour notre abscisse 1 + h, car nous voulons a + h ici. Nous voulons le taux d’accroissement au point 1. Comme notre fonction est x², tout ce qui est dans la parenthèse sera mis au carré. Si la fonction est carrée et qu’on veut f(a + h), alors c’est (a + h) qu’on va mettre au carré. Donc cela donne (1 + h)² moins f(a). f(a) est la fonction prise pour l’abscisse choisie, donc ici 1, pour la fonction x². Donc, ce sera 1². Le tout divisé par ‘h’.

Simplification du calcul du taux de variation

Pour calculer cela, utilisons une identité remarquable qui simplifiera le développement de cette parenthèse. Vous devez connaître les identités remarquables si vous êtes en première. (1 + h)² – 1² = 1² + 2 x 1 x h + h² – 1². Les termes « 1² » se simplifient. 1 x 2 x h = 2h, donc nous obtenons 2h + h² sur h.

Comme nous avons ‘h’ à plusieurs endroits, nous pouvons simplifier tous les ‘h’. Pour simplifier, il faut que ‘h’ soit le même en haut et en bas, et comme il y a un ‘+’, il faut retrouver le ‘h’ dans chaque membre. Il nous reste simplement 2 + h. Cela signifie que le taux de variation de la fonction carrée au point d’abscisse 1 vaut 2 + h.

Cela dépendra jusqu’où on veut aller : on part de 2 et on ajoute ‘h’. Si on voulait entre 1 et 4, par exemple, cela signifierait que ‘h’ serait égal à 3, c’est l’écart entre les deux points. Donc, notre taux de variation serait 2 + 3 = 5.

Le nombre dérivé de la fonction f(x) = x² au point d’abscisse 1

Mais comme on veut rétrécir au maximum ce ‘h’, on va le faire tendre vers 0, ce qui donnera le nombre dérivé. Donc, la limite de notre taux de variation quand ‘h’ tend vers 0 sera égale à 2 + 0 = 2. Cela signifie que notre nombre dérivé vaut 2.

Si f(x) = x², alors f'(1), qui est le nombre dérivé pour l’abscisse ‘1’, vaut 2.

Merci d’avoir suivi cet exemple et à bientôt. Ciao !