Salut à toi le matheux qui s’ignore. Aujourd’hui je te propose de comprendre les fonctions dérivées. Cet article fais suite à nos deux articles sur le taux de variation que tu peux consulter ici :

Enfin comprendre le taux de variation !

Taux de variation : exemple de calcul.

Nous avons traité ce sujet en vidéo : je te laisse regarder ça ci-dessous. Cette vidéo est issue de notre chaîne YouTube les maths et moi. Si tu préfères la lecture, la transcription est juste en dessous de la vidéo 😉 . Enjoy !

Transcription de notre vidéo sur les fonctions dérivées :

Présentation

Salut à toi, le matheux qui s’ignore. Je suis Pierre-Elie du blog les maths et moi, et aujourd’hui, tu vas enfin comprendre les fonctions dérivées.

La semaine dernière et celle d’avant, nous avons exploré le taux d’accroissement et le nombre dérivé avec des exemples. Tu peux revoir les vidéos si tu ne les as pas déjà consultés.

Fonction dérivée : définition

Maintenant, entrons dans les fonctions dérivées. Pour chaque fonction de référence, nous connaissons des taux d’accroissement pour différents points. En prenant tous les points de l’ensemble de définition de cette fonction, cela forme une fonction. Et cette fonction de tous les nombres dérivés est la fonction dérivée.

Voici regroupées toutes les fonctions de référence que nous étudierons en première, mais en réalité, ce processus est applicable à n’importe quelle fonction. Nous prendrons un exemple à la fin. Pour toute fonction, nous pouvons trouver une nouvelle fonction, sa fonction dérivée, qui correspond à la variation de notre fonction initiale f(x) en fonction de l’abscisse x.

À chaque abscisse différente, la variation de votre fonction sera différente. C’est cette variation que nous représentons grâce à la fonction dérivée. La fonction principale est notée f(x), et la fonction dérivée est notée f'(x).

Fonctions dérivées de référence : les fonctions constantes et affines de la forme f(x) = mx + p

C’est parti, je vais t’expliquer ce petit tableau à connaître par cœur. Ensuite, nous expliquerons comment les trouver grâce au taux de variation. Enfin, nous nous amuserons avec des fonctions qui ne sont pas dans ce tableau.

Considérons d’abord une fonction constante, par exemple, appartenant à l’ensemble ℝ. Donc, n’importe quelle valeur, par exemple 2,6. Si tu as f(x) = 2,6, la fonction dérivée est toujours 0. C’est assez logique : sur un graphique, une constante donne une courbe horizontale sans variation. Donc elle a bien une variation de zéro.

Si notre fonction est affine de la forme f(x) = mx + p, où m et p appartiennent à ℝ. Par exemple f(x) = 5x – 2,5. Là, on voit bien qu’il y a une variation. Cette variation est donnée par le coefficient directeur de la droite. Et le coefficient directeur c’est m. Donc notre dérivée est simplement m. f'(x) = m.

Une fonction affine de la forme mx + p. Le « + p », c’est l’ordonnée à l’origine, c’est le point où la droite va croiser l’axe des ordonnées. Et le « m » correspond à la pente, ou au coefficient directeur. C’est si j’avance de 1 carreau, de combien je vais monter (ou descendre). C’est ce qui va vous donner la variation de votre fonction.

Les fonctions puissances de la forme f(x) = xⁿ

Pour la fonction carré : f(x) = x². La courbe ressemble à ça.

Sa dérivée est de la forme f'(x) = 2x. Si x est négatif, par exemple, x = – 5. La dérivée est négative : f’(-5) = 2 x (-5) = -10. Et la courbe semble effectivement décroissante. Si la courbe est décroissante, le nombre dérivé sera négatif.

Si x est positif, par exemple, x = 3. La dérivée est positive : f’(3) = 2 x 3 = 6. Et la courbe semble effectivement croissante. Si la courbe est croissante, le nombre dérivé sera positif.

Pour la fonction cube : f(x) = x³, la dérivée est f'(x) = 3x². Cette règle peut être généralisée. Vous voyez que pour x², l’exposant se met en facteur : ça devient 2x. Pareil pour x³ : on met l’exposant en facteur, et l’exposant diminue de 1, ça devient 3x².

On peut le généraliser avec xⁿ, n appartenant à ℕ. Sa dérivé est nx^n-1. On met l’exposant n en facteur, puis on diminue l’exposant de 1 pour passer à n-1.

Si la fonction est x⁷ par exemple, la fonction dérivée est égale à 7x⁶.

Les fonctions inverse f(x) = 1/x et racine f(x) = √x

Les deux dernières fonctions de référence sont la fonction inverse : f(x) = 1/x, dont la dérivée vaut f'(x) = -1/x² ; et f(x) = √x, dont la dérivée vaut f'(x) = 1/ (2 √x).

Un moyen mnémotechnique : pour la fonction inverse, 1/x, la dérivée est de la forme « 1 sur quelque chose ». Et pour la fonction racine : √ x, la dérivée a encore √x. Cela aide à retenir la formule.

Le taux de variation pour déterminer les fonctions dérivées

Expliquons avec le taux de variation, par exemple, pour la fonction x². On l’avait fait dans la dernière vidéo avec un exemple pour l’abscisse 1. Maintenant, regardons de manière générale pour n’importe quelle abscisse pour expliquer comment on trouve ce 2x.

La fonction est f(x) = x². Prenons une abscisse a. Appliquons le taux de variation : τ = (f(a+h) – f(a)) /h. Appliquons la fonction x² à chacun puisque f(a+h) signifie appliquer la fonction x² à (a + h), et f(a) appliquer la fonction x² à ‘a’. Donc, on remplace le ‘x’ de la fonction par (a + h) puis par ‘a’. Ça donne : τ = ((a + h)² – a²) / h.

Développons cette parenthèse (a + h)² grâce à une identité remarquable. Si tu n’es pas familier avec les identités remarquables, tu peux écrire que c’est (a + h) facteur de (a + h), et appliquer une double distributivité. Ça marche aussi, c’est juste un peu plus long. Je vais le faire directement avec les identités remarquables : (a + h)² = a² + 2 a h + h².

Donc τ = (a² + 2ah + h² – a²) / h. Les a² se simplifient puisqu’on a a² – a². Il nous reste donc (2 ah + h²) / h.

Comme nous l’avions fait dans l’exemple de la semaine dernière, nous pouvons simplifier tous les ‘h’. Puisque nous avons ‘h’ au dénominateur, nous pouvons l’annuler au dénominateur et au numérateur. Mais comme nous avons plusieurs termes, nous devons annuler ‘h’ pour chacun. Il reste donc 2a + h. C’est le taux de variation. Quelle que soit l’abscisse a et quel que soit le point « plus h ». En fait, quel que soit le point qu’on prend un peu plus loin pour faire la variation, ça donnera ce taux de variation.

Le nombre dérivé de n’importe quelle abscisse a

Mais nous, pour le nombre dérivé, nous allons nous rapprocher infiniment près, donc le nombre ‘h’ va tendre vers 0. Nous dirons qu’on cherche la variation entre le point A et un point infiniment proche. Donc, le ‘h’ vaut 0.

Donc, quand nous prenons la limite quand h tend vers 0 pour connaître le nombre dérivé, il suffit de remplacer ‘h’ par 0. Il reste seulement 2a. Et c’est là qu’on remarque que quelle que soit l’abscisse choisie au départ, le résultat sera deux fois cette abscisse. Donc, si nous voulons généraliser à la fonction x² entière, nous avons une dérivée qui vaut 2x. C’est ainsi qu’on retrouve cette formule de fonction dérivée.

Explorer le taux de variation avec d’autres fonctions

On pourrait faire cela pour chacune des fonctions étudiées, mais la vidéo est déjà assez longue, je ne vais pas traiter d’autres exemples.

Je te laisse explorer toi-même d’autres fonctions comme f(x) = 3x² + 2, par exemple. N’importe laquelle en fait. Et tu appliques ce que nous venons de voir. Le taux de variation, la limite quand ‘h’ tend vers 0, et tu trouveras la dérivée de cette fonction.

Je te remercie. À bientôt, ciao